Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung/Reife- und Diplomprüfung
Formelsammlung
Mathematik (AHS)
Angewandte Mathematik (BHS)
Berufsreifeprüfung Mathematik
Stand: 1. Dezember 2022
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Inhaltsverzeichnis
1.)	Mengen
Zahlenmengen
2.)	Vorsilben
3.)	Potenzen
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln)
Rechenregeln
Binomische Formeln
4.)	Logarithmen
5.)	Quadratische Gleichungen
6.)	Ebene Figuren
Dreieck
Viereck
Kreis
7.)	Körper
Prisma
Drehzylinder
Quader
Würfel
Pyramide
Drehkegel
Kugel
8.)	Trigonometrie
Umrechnung zwischen Gradmaß (°) und Bogenmaß (rad)
Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck
Trigonometrie im Einheitskreis
Trigonometrie im allgemeinen Dreieck
Allgemeine Sinusfunktion (in Abhängigkeit von der Zeit t)
9.)	Komplexe Zahlen
Komponentenform
Polarformen
Umrechnungen
10.)	Vektoren
Vektoren in 'R^2
Rechenregeln in 'R^2
Skalarprodukt in 'R^2
Betrag (Länge) eines Vektors in 'R^2
Normalvektoren 'vn zu 'va =(a_1|a_2) in 'R^2
Vektoren in 'R^n
Rechenregeln in 'R^n
Skalarprodukt in 'R^n
Betrag (Länge) eines Vektors in 'R^n
Orthogonalitätskriterium in 'R^2 und 'R^3
Parallelitätskriterium in 'R^2 und 'R^3
Winkel 'ph zwischen 'va und 'vb in 'R^2 und 'R^3
Einheitsvektor 'va_0 in Richtung 'va
Vektorprodukt in 'R^3
11.)	Geraden
Parameterdarstellung einer Geraden g in 'R^2 und 'R^3
Gleichung einer Geraden g in 'R^2
12.)	Matrizen
Addition/Subtraktion von Matrizen
Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl k
Multiplikation von Matrizen
Einheitsmatix E
Transponierte Matrix A^T
Inverse Matrix A^(−1) einer quadratischen Matrix A
Lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise (n Gleichungen in n Variablen)
Produktionsprozesse
13.)	Folgen und Reihen
Arithmetische Folge
Endliche arithmetische Reihe
Geometrische Folge
Endliche geometrische Reihe
Unendliche geometrische Reihe
14.)	Änderungsmaße
Absolute Änderung
Relative (prozentuelle) Änderung
Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate)
Differenzialquotient (lokale bzw. "momentane" Änderungsrate)
15.)	Wachstums- und Abnahmeprozesse
Linear
Exponentiell
Beschränkt
Logistisch
16.)	Ableitung und Integral
Unbestimmtes Integral
Bestimmtes Integral
Ableitungsregeln
Integrationsmethode – lineare Substitution
Volumen V von Rotationskörpern
Bogenlänge s des Graphen einer Funktion f im Intervall [a; b]
Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
17.)	Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen
Lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
18.)	Statistik
Relative Häufigkeit h_i von x_i
Lagemaße
Streuungsmaße
19.)	Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Versuch
Elementare Regeln
Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
Satz von Bayes
Erwartungswert 'my einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x_1, x_2, ..., x_n
Varianz 'si^2 einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x_1, x_2, ..., x_n
Standardabweichung 'si
Binomialverteilung
Normalverteilung
Zufallsstreubereich und Konfidenzintervall
20.)	Lineare Regression
21.)	Finanzmathematik
Zinsen und Zinseszinsen
Unterjährige Verzinsung
Rentenrechnung
Tilgungsplan
22.)	Investitionsrechnung
Kapitalwert C_0
Interner Zinssatz i_(intern)
Modifizierter interner Zinssatz i_(mod)
23.)	Kosten- und Preistheorie
24.)	Technisch-naturwissenschaftliche Grundlagen
Bewegungsvorgänge

1.)	Mengen
'el ... ist Element von ...
\'el ... ist nicht Element von ...
'DM ... Durchschnitt(smenge)
'VM ... Vereinigung(smenge)
'eTM ... echte Teilmenge
'TM ... Teilmenge
\ ... Differenzmenge ("ohne")
{} ... leere Menge
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Zahlenmengen
'N ={0, 1, 2, ...} ... natürliche Zahlen
'Z ... ganze Zahlen
'Q ... rationale Zahlen
'R ... reelle Zahlen
'C ... komplexe Zahlen
'R^+ bzw. 'R^- ... positive bzw. negative reelle Zahlen
'R^+_0 bzw. 'R^-_0 ... positive bzw. negative reelle Zahlen mit Null
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2.)	Vorsilben
Tera- T 10^12
Giga- G 10^9
Mega- M 10^6
Kilo- k 10^3
Hekto- h 10^2
Deka- da 10^1
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Dezi- d 10^(-1)
Zenti- c 10^(-2)
Milli- m 10^(-3)
Mikro- 'my 10^(-6)
Nano- n 10^(-9)
Pico- p 10^(-12)
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3.)	Potenzen
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Legende:
a 'el 'R; n 'el 'N \ {0}
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a^n =a *a *... *a mit n Faktoren
a^1 =a
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Legende:
a 'el 'R \ {0}; n 'el 'N \ {0}
---
a^(-n) =1/a^n =(1/a)^n
a^(-1) =1/a
a^0 =1
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Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln)
Legende:
a, b 'el 'R^+_0; n, k 'el 'N \ {0} mit n >=2
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a ='w[n](b) <--> a^n =b
a^(1/n) ='w[n](a)
a^(k/n) ='w[n](a^k)
a^(-k/n) =1/('w[n](a^k)) mit a >0
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Rechenregeln
Legende:
a, b 'el 'R \ {0}; r, s 'el 'Z bzw. a, b 'el 'R^+; r, s 'el 'Q
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a^r *a^s =a^(r +s)
a^r/a^s =a^(r -s)
(a^r)^s =a^(r *s)
(a *b)^r =a^r *b^r
(a/b)^r =a^r/b^r
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Legende:
a, b 'el 'R^+_0; m, n, k 'el 'N \ {0} mit m, n >=2
---
'w[n](a *b) ='w[n](a) *'w[n](b)
'w[n](a^k) =('w[n](a))^k
'w[n](a/b) ='w[n](a)/'w[n](b) mit b \=0
'w[n]('w[m](a)) ='w[n *m](a)
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Binomische Formeln
Legende:
a, b 'el 'R; n 'el 'N
---
(a +b)^2 =a^2 +2 *a *b +b^2
(a -b)^2 =a^2 -2 *a *b +b^2
(a +b) *(a -b) =a^2 -b^2
---
(a +b)^n ='Si[k =0; n]('(n\k) *a^(n -k) *b^k
(a -b)^n ='Si[k =0; n]((-1)^k *'(n\k) *a^(n -k) *b^k)
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4.)	Logarithmen
Legende:
a, b, c 'el 'R^+ mit a \=1; x, r 'el 'R
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x ='log_a(b) <--> a^x =b
'log_a(b *c) ='log_a(b) +'log_a(c)
'log_a(b/c) ='log_a(b) -'log_a(c)
'log_a(b^r) =r *'log_a(b)
'log_a(a^x) =x
'log_a(a) =1
'log_a(1) =0
'log_a(1/a) =-1
a^('log_a(b)) =b
natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis 'e): 'ln(b) ='log_'e(b)
dekadischer Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10): 'lg(b) ='log_10(b)
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5.)	Quadratische Gleichungen
Legende:
p, q 'el 'R
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x^2 +p *x +q =0
x_(1, 2) =-p/2 +-'w((p/2)^2 -q)
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Legende:
a, b, c 'el 'R mit a \=0
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a *x^2 +b *x +c =0
x_(1, 2) =(-b +-'w(b^2 -4 *a *c))/(2 *a)
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Satz von Vieta
x_1 und x_2 sind genau dann die Lösungen der Gleichung x^2 +p *x +q =0, wenn gilt:
x_1 +x_2 =-p
x_1 *x_2 =q
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Zerlegung in Linearfaktoren
x^2 +p *x +q =(x -x_1) *(x -x_2)
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6.)	Ebene Figuren
Legende:
A ... Flächeninhalt
u ... Umfang
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Dreieck
Allgemeines Dreieck
A =a *h_a/2 =b *h_b/2 =c *h_c/2
u =a +b +c
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Abb. 1

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Heron'sche Flächenformel
A ='w(s *(s -a) *(s -b) *(s -c)) mit s =(a +b +c)/2
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Ähnlichkeit und Strahlensatz
a/a_1 =b/b_1 =c/c_1
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Abb. 2

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Rechtwinkeliges Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a, b
A =a *b/2 =c *h_c/2
h_c^2 =p *q
a^2 =c *p
b^2 =c *q
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Satz des Pythagoras
a^2 +b^2 =c^2
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Abb. 3

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Gleichseitiges Dreieck
A =a^2/4 *'w(3) =a *h/2
h =a/2 *'w(3)
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Abb. 4

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Viereck
Quadrat
A =a^2
u =4 *a
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Abb. 5

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Rechteck
A =a *b
u =2 *a +2 *b
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Abb. 6

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Raute (Rhombus)
A =a *h_a =e *f/2
u =4 *a
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Abb. 7

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Parallelogramm
A =a *h_a =b *h_b
u =2 *a +2 *b
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Abb. 8

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Trapez
A =(a +c) *h/2
u =a +b +c +d
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Abb. 9

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Deltoid
A =e *f/2
u =2 *a +2 *b
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Abb. 10

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Kreis
A ='pi *r^2 ='pi *d^2/4
u =2 *'pi *r ='pi *d
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Abb. 11

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Kreisbogen und Kreissektor
Legende:
'al im Gradmaß(°)
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b ='pi *r *'al/180°
A ='pi *r^2 *'al/360° =b *r/2
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Abb. 12

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7.)	Körper
Legende:
V ... Volumen
M ... Inhalt der Mantelfläche
O ... Inhalt der Oberfläche
u_G ... Umfang der Grundfläche
G ... Inhalt der Grundfläche
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Prisma
V =G *h
M =u_G *h
O =2 *G +M
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{{Beschreibung der Abb.:
Die Grundfläche G und die Deckfläche sind kongruent und zueinander parallel. Der Normalabstand zwischen der Ebene der Grundfläche und der Ebene der Deckfläche ist die Höhe h.}}
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Drehzylinder
V ='pi *r^2 *h
M =2 *'pi *r *h
O =2 *'pi *r^2 +2 *'pi *r *h
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{{Beschreibung der Abb.:
Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius r. Die Grundfläche und die Deckfläche sind kongruent und zueinander parallel. Der Normalabstand zwischen der Ebene der Grundfläche und der Ebene der Deckfläche ist die Höhe h.}}
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Quader
V =a *b *c
O =2 *(a *b +a *c +b *c)
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{{Beschreibung der Abb.:
Ein Quader hat 6 rechteckige Begrenzungsflächen. Die Grundfläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Die Grundfläche und die Deckfläche sind kongruent und zueinander parallel. Der Normalabstand zwischen der Ebene der Grundfläche und der Ebene der Deckfläche ist die Seitenlänge c.}}
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Würfel
V =a^3
O =6 *a^2
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{{Beschreibung der Abb.:
Ein Würfel besteht aus 6 quadratischen Begrenzungsflächen mit der Kantenlänge a. Die 12 Kanten eines Würfels sind gleich lang. 2 gegenüberliegende quadratische Begrenzungsflächen sind jeweils parallel zueinander.}}
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Pyramide
V =G *h/3
O =G +M
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{{Beschreibung der Abb.:
Die Pyramide ist ein Körper mit der Grundfläche G und einer Spitze. Die Mantelfläche setzt sich aus Dreiecken zusammen. Der Normalabstand der Spitze von der Ebene der Grundfläche ist die Höhe h.}}
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Drehkegel
V =1/3 *'pi *r^2 *h
M ='pi *r *s
O ='pi *r^2 +'pi *r *s
s ='w(h^2 +r^2)
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{{Beschreibung der Abb.:
Der Drehkegel ist ein Körper mit einer Grundfläche und einer Spitze. Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius r. Die Höhe h ist der Abstand der Spitze vom Mittelpunkt der Grundfläche. Die Strecke s ist der Abstand der Spitze von einem beliebigen Punkt der Kreislinie. Die Höhe h, der Radius r und die Strecke s bilden ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Hypotenuse s.}}
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Kugel
V =4/3 *'pi *r^3
O =4 *'pi *r^2
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{{Beschreibung der Abb.:
Jeder Punkt auf der Kugeloberfläche hat vom Mittelpunkt der Kugel den Abstand r.}}
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8.)	Trigonometrie
Umrechnung zwischen Gradmaß (°) und Bogenmaß (rad)
'al_(°) ='al_(rad) *180°/'pi
'al_(rad) ='al_(°) *'pi/180°
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Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck
Sinus: 'sin('al) =(Gegenkathete von 'al)/(Hypotenuse)
Cosinus: 'cos('al) =(Ankathete von 'al)/(Hypotenuse)
Tangens: 'tan('al) =(Gegenkathete von 'al)/(Ankathete von 'al)
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Abb. 13

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Trigonometrie im Einheitskreis
'sin^2('al) +'cos^2('al) =1
'tan('al) ='sin('al)/'cos('al) für 'cos('al) \=0
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Abb. 14

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Trigonometrie im allgemeinen Dreieck
Sinussatz:
a/'sin('al) =b/'sin('be) =c/'sin('ga)
Cosinussatz:
a^2 =b^2 +c^2 -2 *b *c *'cos('al)
b^2 =a^2 +c^2 -2 *a *c *'cos('be)
c^2 =a^2 +b^2 -2 *a *b *'cos('ga)
Trigonometrische Flächenformel:
A =1/2 *b *c *'sin('al) =1/2 *a *c *'sin('be) =1/2 *a *b *'sin('ga)
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Abb. 15

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Allgemeine Sinusfunktion (in Abhängigkeit von der Zeit t)
Legende:
A ... Amplitude
T ... Schwingungsdauer (Periodendauer)
'om ... Kreisfrequenz
f ... Frequenz
'ph ... Nullphasenwinkel
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y(t) =A *'sin('om *t +'ph)
T =2 *'pi/'om =1/f
t_0 =–'ph/'om
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Abb. 16

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9.)	Komplexe Zahlen
Legende:
'j bzw. 'i ... imaginäre Einheit mit 'j^2 =–1 bzw. 'i^2 =–1
a ... Realteil, a 'el 'R
b ... Imaginärteil, b 'el 'R
r ... Betrag, r 'el 'R^+_0
'ph ... Argument, 'ph 'el 'R
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Komponentenform
z =a +b *'j
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Abb. 17

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Polarformen
z =r *['cos('ph) +'j *'sin('ph)] =r *'e^('j *'ph) =(r; 'ph)
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Umrechnungen
a =r *'cos('ph)
b =r *'sin('ph)
r ='w(a^2 +b^2)
'tan('ph) =b/a
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10.)	Vektoren
Legende:
P, Q ... Punkte
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Vektoren in 'R^2
Pfeil von P nach Q:
P =(p_1|p_2), Q =(q_1|q_2)
'vPQ =(q_1 –p_1|q_2 –p_2)
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Rechenregeln in 'R^2
'va =(a_1|a_2), 'vb =(b_1|b_2)
'va +-'vb =(a_1 +-b_1|a_2 +-b_2)
k *'va =k *(a_1|a_2) =(k *a_1|k *a_2) mit k 'el 'R
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Skalarprodukt in 'R^2
'va *'vb =a_1 *b_1 +a_2 *b_2
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Betrag (Länge) eines Vektors in 'R^2
|'va| ='w(a_1^2 +a_2^2)
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Normalvektoren 'vn zu 'va =(a_1|a_2) in 'R^2
'vn =k *(-a_2|a_1) für |'va| \=0 und k 'el 'R \ {0}
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Vektoren in 'R^n
Pfeil von P nach Q:
P =(p_1|p_2|...|p_n), Q =(q_1|q_2|...|q_n)
'vPQ =(q_1 -p_1|q_2 -p_2|...|q_n -p_n)
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Rechenregeln in 'R^n
'va =(a_1|a_2|...|a_n), 'vb =(b_1|b_2|...|b_n)
'va +-'vb =(a_1 +-b_1|a_2 +-b_2|...|a_n +-b_n)
k *'va =k *(a_1|a_2|...|a_n) =(k *a_1|k *a_2|...|k *a_n) mit k 'el 'R
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Skalarprodukt in 'R^n
'va *'vb =a_1 *b_1 +a_2 *b_2 +... +a_n *b_n
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Betrag (Länge) eines Vektors in 'R^n
|'va| ='w(a_1^2 +a_2^2 +... +a_n^2)
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Orthogonalitätskriterium in 'R^2 und 'R^3
'va *'vb =0 <--> |'va| 'rw |'vb| für 'va \=0 und 'vb \=0
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Parallelitätskriterium in 'R^2 und 'R^3
'va || 'vb <--> 'va =k *'vb für |'va| \=0, |'vb| \=0 und k 'el 'R \ {0}
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Winkel 'ph zwischen 'va und 'vb in 'R^2 und 'R^3
'cos('ph) =('va *'vb)/(|'va| *|'vb|) für |'va| \=0 und |'vb| \=0
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Einheitsvektor 'va_0 in Richtung 'va
'va_0 =1/|'va| *'va für |'va| \=0
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Vektorprodukt in 'R^3
'va 'x 'vb =(a_1|a_2|a_3) 'x (b_1|b_2|b_3) =(a_2 *b_3 -a_3 *b_2|a_3 *b_1 -a_1 *b_3|a_1 *b_2 -a_2 *b_1)
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11.)	Geraden
Legende:
g ... Gerade
'vg ... ein Richtungsvektor der Geraden g
'vn ... ein Normalvektor der Geraden g
X, P ... Punkte auf der Geraden g
k ... Steigung der Geraden g
'al ... Steigungswinkel der Geraden g
a, b, c, k, d 'el 'R
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Parameterdarstellung einer Geraden g in 'R^2 und 'R^3
g: X =P +t *'vg mit t 'el 'R
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Gleichung einer Geraden g in 'R^2
explizite Form der Geradengleichung: g: y =k *x +d, dabei gilt k ='tan('al)
allgemeine Geradengleichung: g: a *x +b *y =c, dabei gilt 'vn || (a|b) für (a|b) \=(0|0)
Normalvektordarstellung: g: 'vn *X ='vn *P, dabei gilt 'vn || (a|b) für (a|b) \=(0|0)
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12.)	Matrizen
Legende:
a_(ij), b_(ij) 'el 'R; i, j, m, n, p 'el 'N \ {0}; k 'el 'R
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Addition/Subtraktion von Matrizen
'mat[m|n]([a_(11); ...; a_(1n)]...[a_(m1); ...; a_(mn)]) +-'mat[m|n]([b_(11); ...; b_(1n)]...[b_(m1); ...; b_(mn)]) ='mat[m|n]([a_(11) +-b_(11); ...; a_(1n) +-b_(1n)]...[a_(m1) +-b_(m1); ...; a_(mn) +-b_(mn)])
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Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl k
k *'mat[m|n]([a_(11); ...; a_(1n)]...[a_(m1); ...; a_(mn)]) ='mat[m|n]([k *a_(11); ...; k *a_(1n)]...[k *a_(m1); ...; k *a_(mn)])
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Multiplikation von Matrizen
Legende:
A ... eine Matrix mit m Zeilen und p Spalten
B ... eine Matrix mit p Zeilen und n Spalten
C =A *B ... eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten
---
'mat[m|p]([a_(11); ...; a_(1p)]...[a_(i1); ...; a_(ip)]...[a_(m1); ...; a_(mp)]) *'mat[p|n]([b_(11); ...; b_(1j); ...; b_(1n)]...[b_(p1); ...; b_(pj); ...; b_(pn)]) ='mat[m|n]([c_(11); ...; c_(1j); ...; c_(1n)]...[c_(i1); ...; c_(ij); ...; c_(in)]...[c_(m1); ...; c_(mj); ...; c_(mn)])
mit
c_(ij) =a_(i1) *b_(1j) +a_(i2) *b_(2j) +... +a_(ip) *b_(pj)
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Einheitsmatix E
E ='mat[m|m]([1; 0; ...; 0][0; 1; ...; 0]...[0; ...; 1; 0][0; ...; 0; 1])
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Transponierte Matrix A^T
A ='mat[m|n]([a_(11); a_(12); ...; a_(1n)][a_(21); a_(22); ...; a_(2n)]...[a_(m1); a_(m2); ...; a_(mn)])
---
A^T ='mat[n|m]([a_(11); a_(21); ...; a_(m1)][a_(12); a_(22);...; a_(m2)]...[a_(1n); a_(2n); ...; a_(mn)])
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Inverse Matrix A^(−1) einer quadratischen Matrix A
A *A^(−1) =A^(−1) *A =E
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Lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise (n Gleichungen in n Variablen)
a_(11) *x_1 +a_(12) *x_2 +... +a_(1n) *x_n =b_1
a_(21) *x_1 +a_(22) *x_2 +... +a_(2n) *x_n =b_2
...
a_(n1) *x_1 +a_(n2) *x_2 +... +a_(nn) *x_n =b_n
---
Es gilt:
A *'vx ='vb
mit
A ='mat[n|n]([a_(11); a_(12); ...; a_(1n)][a_(21); a_(22); ...; a_(2n)]...[a_(n1); a_(n2); ...; a_(nn)])
und
'vx ='mat[n|1]([x_1][x_2]...[x_n])
und
'vb ='mat[n|1]([b_1][b_2]...[b_n])
---
Wenn die inverse Matrix A^(−1) existiert, dann gilt: 'vx =A^(−1) *'vb
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Produktionsprozesse
Legende:
A ... quadratische Verflechtungsmatrix
E ... Einheitsmatrix
'vx ... Produktionsvektor
'vn ... Nachfragevektor
---
'vx =A *'vx +'vn
'vx =(E –A)^(-1) *'vn
'vn =(E –A) *'vx
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13.)	Folgen und Reihen
Arithmetische Folge
Legende:
(a_n) =(a_1, a_2, a_3, ...)
---
d =a_(n +1) –a_n
---
Rekursives Bildungsgesetz
a_(n +1) =a_n +d und Angabe von a_1
---
Explizites Bildungsgesetz
a_n =a_1 +(n –1) *d
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Endliche arithmetische Reihe
Summe s_n der ersten n Glieder
s_n ='Si[k =1; n](a_k) =a_1 +a_2 +... +a_(n -1) +a_n
s_n =n/2 *(a_1 +a_n) =n/2 *[2 *a_1 +(n -1) *d]
-----
Geometrische Folge
Legende:
(b_n) =(b_1, b_2, b_3, ...)
---
q =b_(n +1)/b_n
---
Rekursives Bildungsgesetz
b_(n +1) =b_n *q und Angabe von b_1
---
Explizites Bildungsgesetz
b_n =b_1 *q^(n –1)
-----
Endliche geometrische Reihe
Summe s_n der ersten n Glieder
s_n ='Si[k =1; n](b_k) =b_1 +b_2 +... +b_(n -1) +b_n
s_n =b_1 *(q^n -1)/(q -1)) für q \=1
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Unendliche geometrische Reihe
'Si[n =1; 'ue](b_n) ist genau dann konvergent, wenn |q| <1
s ='lim[n -> 'ue](s_n) =b_1/(1 -q) für |q| <1
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14.)	Änderungsmaße
Für eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion f gilt:
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Absolute Änderung von f in [a; b]
f(b) -f(a)
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Relative (prozentuelle) Änderung von f in [a; b]
(f(b) -f(a))/f(a) für f(a) \=0
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Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) von f in [a; b] bzw. [x; x +'De x]
(f(b) -f(a))/(b -a) bzw. (f(x +'De x) -f(x))/'De x für b \=a bzw. 'De x \=0
-----
Differenzialquotient (lokale bzw. "momentane" Änderungsrate) von f an der Stelle x
f'(x) ='lim[x_1 -> x]((f(x_1) -f(x))/(x_1 -x)) bzw. f'(x) ='lim['De x -> 0]((f(x +'De x) -f(x))/'De x)
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15.)	Wachstums- und Abnahmeprozesse
Legende:
t ... Zeit
N(t) ... Bestand zur Zeit t
N_0 =N(0) ... Bestand zur Zeit t =0
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Linear
Legende:
k 'el 'R^+
---
lineares Wachstum
N(t) =N_0 +k *t
lineare Abnahme
N(t) =N_0 -k *t
-----
Exponentiell
Legende:
a, 'la 'el 'R^+ mit a \=1 und N_0 >0
a ... Änderungsfaktor
---
exponentielles Wachstum
N(t) =N_0 *a^t für a >1
N(t) =N_0 *'e^('la *t)
---
exponentielle Abnahme
N(t) =N_0 *a^t für 0 <a <1
N(t) =N_0 *'e^(-'la *t)
-----
Beschränkt
Legende:
S, a, 'la 'el 'R^+ mit 0 <a <1
S ... Sättigungswert, Kapazitätsgrenze
---
beschränktes Wachstum (Sättigungsfunktion)
N(t) =S -b *a^t mit b =S -N_0
N(t) =S -b *'e^(-'la *t) mit b =S -N_0
---
beschränkte Abnahme (Abklingfunktion)
N(t) =S +b *a^t mit b =|S -N_0|
N(t) =S +b *'e^(-'la *t) mit b =|S -N_0|
-----
Logistisch
Legende:
S, a, 'la 'el 'R^+ mit 0 <a <1 und N_0 >0
S ... Sättigungswert, Kapazitätsgrenze
---
logistisches Wachstum
N(t) =S/(1 +c *a^t) mit c =(S -N_0)/N_0
N(t) =S/(1 +c *'e^(-'la *t)) mit c =(S -N_0)/N_0
-----
16.)	Ableitung und Integral
Legende:
f, g, h ... auf ganz 'R oder in einem Intervall definierte differenzierbare Funktionen
f', g', h' ... Ableitungsfunktionen
F, G, H ... Stammfunktionen
C, k, q 'el 'R; a 'el 'R^+ \ {1}
-----
Unbestimmtes Integral
'int(f(x) 'dx) =F(x) +C mit F' =f
-----
Bestimmtes Integral
'int[a; b](f(x) 'dx) =F(x)|[a; b] =F(b) –F(a)
-----
f(x) =k
f'(x) =0
F(x) =k *x
---
f(x) =x^q
f'(x) =q *x^(q -1)
F(x) =x^(q +1)/(q +1) für q \=-1 bzw.
F(x) ='ln(|x|) für q =-1
---
f(x) ='e^x
f'(x) ='e^x
F(x) ='e^x
---
f(x) =a^x
f'(x) ='ln(a) *a^x
F(x) =a^x/'ln(a)
---
f(x) ='ln(x)
f'(x) =1/x
F(x) =x *'ln(x) -x
---
f(x) ='log_a(x)
f'(x) =1/(x *'ln(a))
F(x) =1/'ln(a) *(x *'ln(x) -x)
---
f(x) ='sin(x)
f'(x) ='cos(x)
F(x) =-'cos(x)
---
f(x) ='cos(x)
f'(x) =-'sin(x)
F(x) ='sin(x)
---
f(x) ='tan(x)
f'(x) =1 +'tan^2(x) =1/'cos^2(x)
F(x) =–'ln(|'cos(x)|)
---
g(x) =k *f(x)
g'(x) =k *f'(x)
G(x) =k *F(x)
---
h(x) =f(x) +-g(x)
h'(x) =f'(x) +-g'(x)
H(x) =F(x) +-G(x)
---
g(x) =f(k *x)
g'(x) =k *f'(k *x)
G(x) =1/k *F(k *x)
-----
Ableitungsregeln
Faktorregel
(k *f)' =k *f'
---
Summenregel
(f +-g)' =f' +-g'
---
Produktregel
(f *g)' =f' *g +f *g'
---
Quotientenregel
(f/g)' =(f' *g -f *g')/g^2 für g(x) \=0
---
Kettenregel
h(x) =f(g(x)) --> h'(x) =f'(g(x)) *g'(x)
-----
Integrationsmethode – lineare Substitution
'int(f(a *x +b) 'dx) =F(a *x +b)/a +C
-----
Volumen V von Rotationskörpern
Rotation des Graphen einer Funktion f mit y =f(x) um eine Koordinatenachse
---
Rotation um die x-Achse (a <=x <=b)
V_x ='pi *'int[a; b](y^2 'dx)
---
Rotation um die y-Achse (c <=y <=d)
V_y ='pi *'int[c; d](x^2 'dy)
-----
Bogenlänge s des Graphen einer Funktion f im Intervall [a; b]
s ='int[a; b]('w(1 +(f'(x))^2) 'dx)
-----
Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
m =1/(b -a) *'int[a; b](f(x) 'dx)
-----
17.)	Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen
y' =f(x) *g(y) bzw. 'dy/'dx =f(x) *g(y) mit y =y(x)
-----
Lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Legende:
y ... allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
y_h ... allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung y' +a *y =0
y_p ... partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
s ... Störfunktion
---
y' +a *y =s(x) mit a 'el 'R, y =y(x)
y =y_h +y_p
-----
18.)	Statistik
Legende:
x_1, x_2, ..., x_n ... eine Liste von n reellen Zahlen
Dabei treten k verschiedene Werte x_1, x_2, ..., x_k auf.
H_i ... absolute Häufigkeit von x_i mit H_1 +H_2 +... +H_k =n
-----
Relative Häufigkeit h_i von x_i
h_i =H_i/n
-----
Lagemaße
Arithmetisches Mittel x^-
x^- =(x_1 +x_2 +... +x_n)/n =1/n *'Si[i =1; n](x_i)
x^- =(x_1 *H_1 +x_2 *H_2 +... +x_k *H_k)/n =1/n *'Si[i =1; n](x_i *H_i)
---
Geometrisches Mittel x^-_(geo)
x^-_(geo) ='w[n](x_1 *x_2 *... *x_n) mit x_i >0
---
Median x^~ bei metrischen Daten
Legende:
x_(1) <=x_(2) <=... <=x_(n) ... geordnete Liste mit n Werten
---
für n ungerade: x^~ =x_((n +1)/2)
für n gerade: x^~ =1/2 *(x_(n/2) +x_(n/2 +1))
---
Quartile
q_1: Mindestens 25 % der Werte sind kleiner oder gleich q_1, zugleich sind mindestens 75 % der Werte größer oder gleich q_1.
q_2 =x^~: Mindestens 50 % der Werte sind kleiner oder gleich q_2, zugleich sind mindestens 50 % der Werte größer oder gleich q_2.
q_3: Mindestens 75 % der Werte sind kleiner oder gleich q_3, zugleich sind mindestens 25 % der Werte größer oder gleich q_3.
-----
Streuungsmaße
Spannweite
x_(max) –x(min)
---
(Inter)quartilsabstand
q_3 –q_1
---
Legende:
s^2 ... (empirische) Varianz einer Datenliste
s ... (empirische) Standardabweichung einer Datenliste
---
s^2 =1/n *'Si[i =1; n]((x_i -x^-)^2)
s^2 =1/n *'Si[i =1; k]((x_i -x^-)^2 *H_i)
---
s ='w(1/n *Si[i =1; n]((x_i -x^-)^2))
s ='w(1/n *Si[i =1; k]((x_i -x^-)^2 *H_i))
---
Wenn aus einer Stichprobe vom Umfang n die Varianz einer Grundgesamtheit geschätzt werden soll:
(s_(n -1))^2 =1/(n -1) *'Si[i =1; n]((x_i -x^-)^2)
(s_(n -1))^2 =1/(n -1) *'Si[i =1; k]((x_i -x^-)^2 *H_i)
---
s_(n -1) ='w(1/(n -1) *'Si[i =1; n]((x_i -x^-)^2))
s_(n -1) ='w(1/(n -1) *'Si[i =1; k]((x_i -x^-)^2 *H_i))
-----
19.)	Wahrscheinlichkeit
Legende:
n 'el 'N \ {0}; k 'el 'N mit k <=n
A, B ... Ereignisse
\A ... Gegenereignis von A
A 'DM B bzw. A 'u B ... A und B (sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B treten ein)
A 'VM B bzw. A 'o= B ... A oder B (mindestens eines der beiden Ereignisse A und B tritt ein)
P(A) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A
P(A|B) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist (bedingte Wahrscheinlichkeit)
-----
Fakultät (Faktorielle)
n! =n *(n -1) *... *1
0! =1
1! =1
---
Binomialkoeffizient
'(n\k) =n!/(k! *(n –k)!)
-----
Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Versuch
P(A) =(Anzahl der für A günstigen Ausgänge)/(Anzahl der möglichen Ausgänge)
-----
Elementare Regeln
P(\A) =1 -P(A)
---
P(A 'DM B) =P(A) *P(B|A) =P(B) *P(A|B) bzw. P(A 'u B) =P(A) *P(B|A) =P(B) *P(A|B)
---
Wenn A und B (stochastisch) unabhängig voneinander sind:
P(A 'DM B) =P(A) *P(B) ... bzw. P(A 'u B) =P(A) *P(B)
---
P(A 'VM B) =P(A) +P(B) -P(A 'DM B) bzw. P(A 'o B) =P(A) +P(B) -P(A 'u B)
---
Wenn A und B unvereinbar sind:
P(A 'VM B) =P(A) +P(B) bzw. P(A 'o B) =P(A) +P(B)
-----
Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
P(A|B) =P(A 'DM B)/P(B) bzw. P(A|B) =P(A 'u B)/P(B)
-----
Satz von Bayes
P(A|B) =P(A) *P(B|A)/P(B) =P(A) *P(B|A)/(P(A) *P(B|A) +P(\A) *P(B|\A))
-----
Erwartungswert 'my einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x_1, x_2, ..., x_n
'my =E(X) =x_1 *P(X =x_1) +x_2 *P(X =x_2) +... +x_n *P(X =x_n) ='Si[i =1; n](x_i *P(X =x_i))
-----
Varianz 'si^2 einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x_1, x_2, ..., x_n
'si^2 =V(X) ='Si[i =1; n]((x_i -'my)^2 *P(X =x_i))
-----
Standardabweichung 'si
'si ='w(V(X))
-----
Binomialverteilung
Legende:
n 'el 'N \ {0}; k 'el 'N; p 'el 'R mit k <=n und 0 <=p <=1
---
Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p
P(X =k) ='(n\k) *p^k *(1 -p)^(n -k)
---
Erwartungswert
E(X) ='my =n *p
---
Varianz
V(X) ='si^2 =n *p *(1 -p)
-----
Normalverteilung
Legende:
'my, 'si 'el 'R mit 'si >0
f ... Dichtefunktion
F ... Verteilungsfunktion
'ph ... Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
'Ph... Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
---
Normalverteilung N('my; 'si^2): Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 'my und der Standardabweichung 'si bzw. der Varianz 'si^2
P(X <=x_1) =F(x_1) ='int[-'ue; x_1](f(x) 'dx) ='int[-'ue; x_1](1/('si *'w(2 *'pi)) *'e^(-1/2 *((x -'my)/'si)^2) 'dx)
---
Wahrscheinlichkeiten für 'si-Umgebungen
P('my -'si <=X <='my +'si) ~~0,683
P('my -2 *'si <=X <='my +2 *'si) ~~0,954
P('my -3 *'si <=X <='my +3 *'si) ~~0,997
---
Standardnormalverteilung N(0; 1)
z =(x -'my)/'si
'Ph(z) =P(Z <=z) ='int[-'ue; z]('ph(x) 'dx)) =1/'w(2 *'pi) *'int[-'ue; z]('e^(-x^2/2) 'dx)
'Ph(–z) =1 -'Ph(z)
P(–z <=Z <=z) =2 *'Ph(z) -1
P(–z <=Z <=z) =90 %: z ~~1,645
P(–z <=Z <=z) =95 %: z ~~1,960
P(–z <=Z <=z) =99 %: z ~~2,576
-----
Zufallsstreubereich und Konfidenzintervall
Legende:
'my, 'si, 'al 'el 'R mit 'si >0 und 0 <'al <1
x^- ... Stichprobenmittelwert
s_(n -1) ... Standardabweichung einer Stichprobe
n ... Stichprobenumfang
z_(1 -'al/2) ... (1 -'al/2)-Quantil der Standardnormalverteilung
t_(f; 1 -'al/2) ... (1 -'al/2)-Quantil der t-Verteilung mit f Freiheitsgraden
---
Zweiseitiger (1 -'al)-Zufallsstreubereich für einen Einzelwert einer normalverteilten Zufallsvariablen
['my -z_(1 -'al/2) *'si; 'my +z_(1 -'al/2) *'si]
---
Zweiseitiger (1 -'al)-Zufallsstreubereich für den Stichprobenmittelwert normalverteilter Werte
['my -z_(1 -'al/2) *'si/'w(n); 'my +z_(1 -'al/2) *'si/'w(n)]
---
Zweiseitiges (1 -'al)-Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen
'si bekannt: [x^- -z_(1 -'al/2) *'si/'w(n); x^- +z_(1 -'al/2) *'si/'w(n)]
'si unbekannt: [x^- -t_(f; 1 -'al/2) *s_(n -1)/'w(n); x^- +t_(f; 1 -'al/2) *s_(n -1)/'w(n)] mit f =n -1
-----
20.)	Lineare Regression
Legende:
(x_1, y_1), (x_2, y_2), ... (x_n, y_n) ... Wertepaare
x^-, y^- ... arithmetisches Mittel der x_i bzw. y_i
-----
Lineare Regressionsfunktion f mit f(x) =k *x +d
k =('Si[i =1; n]((x_i -x^-) *(y_i -y^-)))/('Si[i =1; n]((x_i -x^-)^2))
d =y^- -k *x^-
---
Korrelationskoeffizient nach Pearson
r =('Si[i =1; n]((x_i -x^-) *(y_i -y^-)))/'w('Si[i =1; n]((x_i -x^-)^2) *'Si[i =1; n]((y_i -y^-)^2))
-----
21.)	Finanzmathematik
Zinsen und Zinseszinsen
Legende:
K_0 ... Anfangskapital
K_n ... Endkapital nach n Jahren; i ... Jahreszinssatz
-----
einfache Verzinsung: K_n =K_0 *(1 +i *n)
Zinseszinsen: K_n =K_0 *(1 +i)^n
-----
Unterjährige Verzinsung
Legende:
Für Zinssätze gelten folgende Abkürzungen:
p. a. ... pro Jahr
p. s. ... pro Semester
p. q. ... pro Quartal
p. m. ... pro Monat
m ... Anzahl der Zinsperioden pro Jahr
i ... effektiver Jahreszinssatz
i_m ... unterjähriger Zinssatz
---
K_n =K_0 *(1 +i_m)^(n *m)
---
i =(1 +i_m)^m -1
i_m ='w[m](1 +i) -1
-----
Rentenrechnung
Legende:
R ... Ratenhöhe
n ... Anzahl der Raten
i ... Zinssatz
q =1 +i ... Aufzinsungsfaktor
nach ... nachschüssig
vor ... vorschüssig
E ... Endwert
B ... Barwert
---
Voraussetzung: Rentenperiode =Zinsperiode
E_(nach) =R *(q^n -1)/(q -1)
E_(vor) =R *(q^n -1)/(q -1) *q
B_(nach) =R *(q^n -1)/(q -1) *1/q^n
B_(vor) = R *(q^n -1)/(q -1) *1/q^(n -1)
-----
Tilgungsplan
Zeitabschnitt: 0
Restschuld: K_0
Zeitabschnitt: 1
Zinsanteil: K_0 *i
Tilgungsanteil: T_1
Annuität: A_1 =K_0 *i +T_1
Restschuld: K_1 =K_0 -T_1
...
-----
22.)	Investitionsrechnung
Legende:
E_t ... Einnahmen im Jahr t
A_t ... Ausgaben im Jahr t
A_0 ... Anschaffungskosten
R_t ... Rückflüsse im Jahr t
i ... kalkulatorischer Zinssatz (Jahreszinssatz)
n ... Nutzungsdauer in Jahren
i_w ... Wiederveranlagungszinssatz (Jahreszinssatz)
E ... Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse
-----
R_t =E_t -A_t
-----
Kapitalwert C_0
C_0 =-A_0 + [R_1/(1 +i) +R_2/(1 +i)^2 +... +R_n/(1 +i)^n]
-----
Interner Zinssatz i_(intern)
-A_0 +[R_1/(1 +i_(intern)) +R_2/(1 +i_(intern))^2 +... +R_n/(1 +i_(intern))^n] =0
-----
Modifizierter interner Zinssatz i_(mod)
A_0 *(1 +i_(mod))^n =E mit E =R_1 *(1 +i_w)^(n -1) +R_2 *(1 +i_w)^(n -2) +... +R_(n -1) *(1 +i_w) +R_n
-----
23.)	Kosten- und Preistheorie
Legende:
x ... produzierte, angebotene, nachgefragte bzw. verkaufte Menge (x >=0)
-----
Kostenfunktion K
K(x)
---
Fixkosten F
K(0)
---
variable Kostenfunktion K_v
K_v(x) =K(x) –F
---
Grenzkostenfunktion K'
K'(x)
---
Stückkostenfunktion (Durchschnittskostenfunktion) K^-
K^-(x) =K(x)/x
---
variable Stückkostenfunktion
(variable Durchschnittskostenfunktion) K^-_v
K^-_v(x) =K_v(x)/x
---
Betriebsoptimum x_(opt)
K^-'(x_(opt)) =0 (Minimumstelle von K^-)
---
langfristige Preisuntergrenze (kostendeckender Preis)
K^-(x_(opt))
---
Betriebsminimum x_(min)
K^-_v'(x_(min)) =0 (Minimumstelle von K^-_v)
---
kurzfristige Preisuntergrenze
K^-_v(x_(min))
---
Kostenkehre
K''(x) =0
---
progressiver Kostenverlauf
K''(x) >0
---
degressiver Kostenverlauf
K''(x) <0
---
Preis p
---
Preisfunktion der Nachfrage (Preis-Absatz-Funktion) p_N
p_N(x)
---
Preisfunktion des Angebots p_A
p_A(x)
---
Marktgleichgewicht
p_A(x) =p_N(x)
---
Höchstpreis
p_N(0)
---
Sättigungsmenge
p_N(x) =0
---
Erlösfunktion (Umsatzfunktion) E
E(x) =p *x bzw. E(x) =p_N(x) *x
---
Grenzerlösfunktion E'
E'(x)
---
Gewinnfunktion G
G(x) =E(x) -K(x)
---
Grenzgewinnfunktion G'
G'(x)
---
untere Gewinngrenze (Break-even-Point, Gewinnschwelle) x_u
obere Gewinngrenze x_o
G(x_u) =G(x_o) =0 mit x_u <=x_o
---
Gewinnbereich (Gewinnzone)
[x_u; x_o]
---
Cournot’scher Punkt C
C =(x_C|p_N(x_C)) mit G'(x_C) =0
-----
24.)	Technisch-naturwissenschaftliche Grundlagen
Legende:
'rh ... Dichte
m ... Masse
V ... Volumen
F ... Kraft
W ... Arbeit
P ... Leistung
t ... Zeit
S ... Weg
v ... Geschwindigkeit
a ... Beschleunigung
v_0 ... Anfangsgeschwindigkeit
-----
Dichte
'rh =m/V
---
Kraft
F = m *a
---
Arbeit
W = F *s
---
Leistung
P = W/t
-----
Bewegungsvorgänge
Geschwindigkeit bei einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung
v = s/t
---
Geschwindigkeit bei einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung
v = a *t +v_0
---
Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit t
v(t) =s'(t)
---
Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit t
a(t) =v'(t) =s''(t)
-----